Scalaで集合論・代数 半群(SemiGroup)【2】

まとめはこっち

前回のおさらい

半群とは以下の条件を満たす集合Sと演算*の組のこと。

条件1.　集合Sが演算*に対して閉じている

　すなわち、S上の任意の元a, b に対して、演算結果 a * b は再び S に属する。

　

条件2.　集合S上の演算*は結合法則を満たす。

　すなわち、S上の任意の元a, b, c に対して、

　(a * b) * c = a * (b * c)

　

色々な半群

半群にも色々種類があって、
特徴的なものは名前が付いていたりします。

空半群

何も元を持たない集合と、演算としては空写像の組が空半群です。

class SemiGroup[S](f: (S, S) => S) {

  def append(a: S, b: => S) = f(a, b)

}

 

val emptySemigroup = new SemiGroup[Unit]((_, _) => Unit)

単元半群

元を1つだけ持つ半群が単元半群です。
自動的に演算はその元2つを引数にとって、その元を返す演算になります。

class SemiGroup[S](f: (S, S) => S) {

  def append(a: S, b: => S) = f(a, b)

}

 

object Singleton
val semigroupWithOneElement = new SemiGroup[Singleton]((_, _) => Singleton)

可換半群

半群が交換法則を満たすとき、すなわち
二項演算子の被演算数（引数）を入れ替えても計算結果が同じ
ならば可換半群と言います。

整数は加法についても乗法についても可換半群を成します。
行列は加法については可換ですが、乗法については可換ではありません。

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半群に単位元が存在するとモノイドです。
次回扱う予定です。